Trabalhando números entre números

Hoje tentei, com certa relutância, trabalhar com a noção de números entre números com minhas turmas do terceiro ano. Com alguma surpresa descobri que uma das turmas já iniciara o estudo de alguns números racionais com a professora em classe, mas a outra turma não; mas no fim a aula foi estimulante para todos.

Comecei perguntando se havia um número entre 0 e 1 fazendo uma reta no quadro com cada um dos números em cada ponta. Depois para dar a intuição de que há números entre aqueles números fiz uma segunda reta, desta vez com os meses do ano e a data de aniversário de um dos alunos:

"Então, se o aniversário do Marcos foi em dezembro de 2012, aqui em junho de 2013 ele estaria ainda com 8 anos ou 8 anos e meio?"

Para ilustrar, chamava o aluno em questão para se desenhar na reta no ponto no qual ele achava correto: exatamente no meio da reta, que intuitivamente marcávamos com o 0,5.

A partir das respostas fomos trabalhando as proporções entre o ano e os valores na reta 0 - 1. Quando se passavam 3 meses do aniversário, o menino desenhado movimentava-se na reta do zero ao 0,25; mais 3 meses até o 0,5; nos 3 seguintes até o 0,75, e assim por diante, sempre surpresos que na verdade 0,25 < 0,50, e que ao somar todas as passagens do 0,25 conseguíamos 1. Em seguida trabalhamos as proporções entre esses números racionais e os inteiros de 0 a 100.

Foi muito gratificante e muito estimulante para as crianças.

PS.: quando os alunos perceberam que eu tirava uma foto do quadro eles foram todos para a frente e não consegui um enquadramento dele completo, mas acho que já valeu.

Aprendendo o que já se sabe.

Na semana passada comecei as aulas em três turminhas de uma unidade da Escola Bosque, localizada em uma outra ilha, diferente da qual trabalho diariamente. Como estava sozinho, pois não havia nesse dia professor de educação física e de artes, com os quais dividiria as turminhas, peguei os 24 alunos e tentei a atividade da bailarina.

Comecei fazendo a linha horizontal onde quem pulava de ponto em ponto era o Professor Tadeu, que começou a pular sempre para o lado direito, de várias formas diferentes, mas nunca voltava para a esquerda, ultrapassando o zero. Quando questionei sobre o que aconteceria quando o Professor Tadeu (o boneco) desse um salto passando do zero, para o lado esquerdo da reta, logo um aluno pulou e imediatamente disse: "O Sr. vai cair no nada Professor!", então voltei para o ponto de onde partiu o salto e novamente questionei onde ele cairia se desse um salto ainda maior para o lado esquerdo, ultrapassando o zero. Logo outro aluno respondeu, talvez copiando o primeiro: "Ele vai cair no nada Professor". Com essas duas sugestões propus a todos que observando a reta e os dois pontos antes do zero, aos quais chamaram de "nada", pensassem se existiriam dois "nadas" em pontos diferentes da reta. Todos concordaram que "nada" é só um e que não sabiam explicar como chamar os pontos onde o Professor Tadeu havia parado à esquerda do zero.

Com a dúvida instaurada, adotei a ideia apresentada no II Workshop do Círculo da Matemática do Brasil (me desculpem por não creditar essa ideia - puro esquecimento mesmo) e desenhei uma escada da borda inferior do quadro até a borda superior, colocando o zero no meio da escada. Novamente, comecei saltando para cima sem problemas e de várias formas que todos participaram com chutes e sugestões registradas no quadro, até o momento em que uma aluna questionou: "Professor porque o zero está no meio da escada e não lá embaixo?"

Em vez de mudar os números de lugar, perguntei: "E se descermos a escada até o primeiro degrau não numerado que está antes do zero?". O aluno que havia cogitado o "nada" na reta horizontal disse: "Professor agora eu não sei mais o que falar, porque se eu disser que vai para o nada, o Sr. vai descer ainda mais e perguntar se existem dois "nadas" diferentes, e agora?"

Como expus no Workshop, sempre procuro trabalhar o significado das palavras/frases que estão sendo ditas nos exercícios, atividades e em tudo o que é falado. Nesse momento, perguntei a todas as crianças se eles sabiam o que significava a palavra "primeiro", vários disseram: "é o que vem antes", "o que chega na frente", "é o número 1", em seguida perguntei o que seria "o primeiro degrau subindo a escada a partir do zero" e "o primeiro degrau descendo a escada a partir do zero", a sala ficou em silêncio e em seguida podiam se ouvir vários "hhhuuummm's" pensativos... O aluno que havia falado do "nada" disse: "Professor tem o 1 subindo e o 1 descendo". E vários começaram: "É mesmo, se o Sr. pular três pra cima, vai parar no 3 subindo, ou se pular três pra baixo, vai parar no 3 descendo".

Não me contive num sorriso que todos perceberam que haviam aprendido uma coisa nova que, de certa forma, já sabiam... 

O tempo da aula acabou, peguei o barco para voltar para a minha unidade e enquanto ouvia o barulho do motor e sentia a brisa do rio e o sol no rosto pensava em mil maneiras de perguntar para que eles descubram os números negativos. A aula seguinte foi show... aguardem.

Números menores que o zero

Ao longo desta semana, dando aulas para o círculo da matemática, percebi que quanto mais a criança se permite imaginar, mas fácil vem a ideia dos números negativos, que a possibilidade da existência de números negativos vem mais facilmente em turmas cuja média de idade é mais baixa em comparação à turmas cuja média de idade é mais alta.Isso porque, imaginar que existe um número menor do que zero é quase inconcebível para colaboradores do círculo que estão no quarto ano. Porém, a ideia surgiu mais naturalmente com alunos do segundo ano. Mesmo difícil, a introdução da ideia de existência de números menor que zero ainda é um dos meus assuntos preferidos (Junto à "qual o maior número de todos?" Mas isso fica pra outra história).

Estamos em um país tropical e falar em temperaturas negativas não tem ajudado muito."- O polo norte é muito frio e tem vários animais legais, e o mais legal de tudo é que lá tem neve! Aqui também tem, mas a neve vem em forma de pedra de gelo.". O granizo apareceu ao longo da semana pela região de Porto Alegre e a memória disso ainda é muito fresca. Porém, pergunte aos pequenos colaboradores do círculo da matemática sobre a temperatura que faz no Polo Norte e a resposta, geralmente, é "- Zero grau". A conversa não desenvolve muito para além disso quando o assunto é a temperatura.

Mudança de assunto, então: "- Quem compra pão em casa?". Várias mãozinhas se levantam.  "- E se você vai à padaria e falta dinheiro para completar o preço total do pão?". Uma menina esperta levanta a mão e diz em tom de brincadeira: "- Eu saio correndo com o pão, professora.". Todos riem muito, "- É mentira, professora, eu não faço isso não.", completa logo. A ideia de dívida surge, porém, os números negativos não. Se eu estou devendo eu tenho zero reais, e se eu não estou devendo e gastei todo meu dinheiro também tenho zero reais. A ideia de que pode existir um número que se chama um menos surge, porém, ele está definitivamente antes do zero. Fazemos uma escadinha para ordenar. Todos concordam que ele está abaixo do zero. Porém, transferir o número "um menos" da escada para a reta não pareceu natural. "Não rolou" diriam algumas professoras do círculo, incluindo eu. É, esses números "um menos", "dois menos", "três menos", ainda não rolaram.

É engraçado pensar que essa mesma turma já tem ideia que não existe o maior número de todos, porém, o menor número de todos ainda é o zero. Aguardo, ansiosamente, a consolidação de que números negativos estão ali, depois do zero, e vieram para ficar.